Bước 1/4: Bản chất
Phần 9 · Bản chất
Các module trước luôn cho sẵn đồ thị hoặc bảng của f′. Module này làm chiều ngược lại: f′ chưa được cho, em phải tự dựng nó ra từ công thức — và nó luôn là một parabol.
Cho hàm bậc ba tổng quát y = ax³ + bx² + cx + d với a ≠ 0. Đạo hàm của nó là một tam thức bậc hai:
Đồ thị của y′ là một parabol.
Cực trị của f sinh ra khi f′ đổi dấu. Mà f′ giờ là một parabol — theo em, một parabol có thể đổi dấu mấy lần?
Từ con số đó, một hàm bậc ba có thể có những số cực trị nào? Viết ra rồi đọc tiếp.
Câu hỏi "hàm bậc ba có 2 cực trị khi nào?" chính là câu "y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi nào?" — trả lời được bằng biệt thức Δ.
Em không học kiến thức mới, chỉ dịch câu hỏi sang ngôn ngữ Δ đã biết.
Parabol y′ quan hệ với trục hoành theo đúng ba kiểu, và mỗi kiểu quyết định số cực trị của f:
| Biệt thức Δ của y′ | Parabol y′ | Số cực trị của f |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Cắt xuyên qua Ox tại 2 điểm | 2 ✔ |
| Δ = 0 | Chỉ chạm Ox (nghiệm kép) | 0 ✘ |
| Δ < 0 | Không gặp Ox | 0 ✘ |
Δ = 0 nghĩa là y′ = 0 vẫn có nghiệm — một nghiệm kép. Thấy "có nghiệm" mà kết luận "có cực trị" là sai.
Đây chính là chỗ "chỉ chạm" em đã gặp bốn lần ở các module trước: parabol chạm trục rồi bật lại, không đổi dấu nên không sinh cực trị. Ví dụ y = x³ có y′ = 3x², nghiệm kép tại 0, và không cực trị nào.
Parabol đối xứng qua trục đứng của nó. Nó không thể "vào mà không ra" — nếu đã cắt xuống dưới trục thì buộc phải ngoi lên lại. Vậy số lần cắt xuyên qua chỉ có thể là 0 hoặc 2, không bao giờ là 1.
Đề hỏi số cực trị của hàm bậc ba mà phương án nào ghi 1 hoặc 3 → loại ngay, không cần tính. Chỉ còn chọn giữa 0 và 2.
Mẹo này đúng với mọi hàm bậc ba, kể cả khi đề chưa cho hệ số cụ thể.
Xét đề: tìm m để y = (m − 1)x³ + 3x² + mx có 2 cực trị. Đừng lao vào tính Δ ngay.
Nếu m = 1 thì hệ số của x³ bằng 0, hàm tụt xuống thành y = 3x² + x — một parabol, không còn là bậc ba. Mà parabol có đúng 1 cực trị, không phải 2.
Mọi kết luận về Δ ở trên đều ngầm giả định hệ số x³ khác 0. Khi hệ số đó chứa tham số, phải xét riêng.
Quy trình đúng cho mọi bài tham số:
Bước 1 nghe thừa — nhưng đó chính là chỗ đề cài phương án nhiễu.
Ví dụ A — hệ số x³ không có tham số. Tìm m để y = x³ − 3mx² + 3x − 1 có 2 cực trị.
Hệ số x³ là 1, luôn khác 0 — bước điều kiện tồn tại tự động thoả. Chỉ cần Δ > 0:
Đáp án: m < −1 hoặc m > 1.
m² > 1 cho hai khoảng, không phải một. Học sinh vội thường chỉ ghi m > 1 và mất nửa số điểm.
Ví dụ B — hệ số x³ chứa tham số. Tìm m để y = (m + 2)x³ + 3x² + mx − 5 có 2 cực trị.
Hệ số x³ là (m + 2) — đèn đỏ bật. Xét hai điều kiện:
| Bước | Tính | Kết quả |
|---|---|---|
| Tồn tại | m + 2 ≠ 0 | m ≠ −2 |
| Cực trị | Δ′ = 9 − 3(m+2)m > 0 | −3 < m < 1 |
| Giao | cả hai cùng lúc | (−3 ; 1) \ {−2} |
Phương án nhiễu của đề gần như chắc chắn là (−3 ; 1) — thiếu mất việc loại m = −2. Tại m = −2, hàm thành parabol y = 3x² − 2x − 5, chỉ 1 cực trị, không thoả đề.
Đề thường không dừng ở "có 2 cực trị". Nó hỏi tiếp: hai hoành độ cực trị x₁, x₂ thoả x₁ + x₂ = 4, hoặc x₁x₂ = 3, hoặc x₁ = 2x₂…
Đừng giải tìm x₁, x₂ cụ thể. Chúng là hai nghiệm của y′ = 0 — dùng Vi-ét là gọn nhất.
Hai biểu thức này lấy thẳng từ y′ = 3ax² + 2bx + c = 0, không cần giải nghiệm.
Học sinh giải Vi-ét ra m = 5 rồi khoanh luôn. Nhưng nếu m = 5 làm Δ ≤ 0 thì hàm không có cực trị nào — nghiệm đó phải loại. Luôn thay ngược lại kiểm tra.
Một đề trắc nghiệm hỏi số cực trị của hàm bậc ba, bốn phương án là 1 · 2 · 3 · 0. Chưa tính gì, loại được mấy phương án?
Tìm m để y = x³ + mx² + x có 2 cực trị.
y = mx³ − x² + x + 1. Bạn An tính Δ′ của y′ rồi kết luận luôn. Bạn ấy có thể quên gì?
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.