Bước 1/4: Bản chất
Phần 2 · Bản chất
Bảng biến thiên không phải một thủ tục trình bày cho đẹp. Nó là tấm bản đồ kể lại toàn bộ hành trình của đồ thị.
Hãy tưởng tượng một người đi xe từ thành phố A tới thành phố B. Trên đường có đoạn lên dốc, đoạn xuống dốc, và giữa chừng có một cây cầu bị đứt.
Nếu chỉ chụp một tấm ảnh tại một điểm, em không thể biết cả chặng đường trông ra sao.
Đoạn nào đang đi lên? Đoạn nào đi xuống? Có chỗ nào không qua được không?
Bảng biến thiên là bản đồ hành vi của hàm số. Nó cho biết hàm tồn tại ở đâu, tăng hay giảm trên khoảng nào, có cực trị không, và tiến về đâu ở vô cực.
Tính được đạo hàm mới chỉ là có trong tay một mớ dữ liệu thô. Từ đó ta vẫn chưa biết hàm tăng hay giảm, có cực trị hay không, và đồ thị đi về đâu.
Lập bảng biến thiên chính là trả lời lần lượt bốn câu hỏi:
1. Hàm số xác định ở đâu?
2. Đạo hàm đổi dấu tại đâu?
3. Hàm tăng hay giảm trên từng khoảng nào?
4. Khi x → ±∞, đồ thị tiến về đâu?
Bảy bước dưới đây chỉ là thứ tự trả lời bốn câu hỏi đó cho gọn gàng.
Làm sai thứ tự rất dễ bỏ sót cực trị hoặc kết luận nhầm tiệm cận.
Trước khi hỏi hàm tăng hay giảm, phải biết hàm được phép sống ở đâu đã.
Tại x = 2 hàm số không tồn tại, nên bảng biến thiên phải tách thành hai khoảng.
Điểm không thuộc tập xác định thì không bao giờ là cực trị. Đây là chỗ đường bị đứt, không phải đỉnh dốc.
Nhiều học sinh chỉ giải f′(x) = 0 rồi kết luận cực trị. Đây là lỗi nguy hiểm, vì có thể bỏ sót những điểm mà f′ không xác định nhưng hàm số vẫn có cực trị.
| Loại điểm | Ví dụ | Có thể là cực trị? |
|---|---|---|
| f′(x) = 0 | x³ − 3x | Có |
| f′ không xác định | |x| | Có |
| f không xác định | 1/x | Không |
Hãy đưa cả ba loại điểm vào trục xét dấu trước khi lập bảng.
Tích này bằng 0 tại x = −1 và x = 1, chia trục thành ba khoảng.
| Khoảng | (−∞ ; −1) | (−1 ; 1) | (1 ; +∞) |
|---|---|---|---|
| f′(x) | + | − | + |
Trên mỗi khoảng, chỉ cần chọn một giá trị đại diện để xác định dấu. Ví dụ trên khoảng (1 ; +∞) chọn x = 2: thay vào được số dương.
Đọc bảng dấu vừa lập, viết ra từng khoảng một:
f′ > 0 trên (−∞ ; −1) nên hàm tăng.
f′ < 0 trên (−1 ; 1) nên hàm giảm.
f′ > 0 trên (1 ; +∞) nên hàm tăng.
Bây giờ mới nhìn tới cực trị, và nhìn vào chỗ dấu đổi:
Đổi dấu + → − nên có cực đại tại x = −1.
Đổi dấu − → + nên có cực tiểu tại x = 1.
f′(x) = 0 chỉ tạo ra điểm nghi ngờ. Cực trị chỉ xuất hiện khi đạo hàm đổi dấu.
Ta đang xét hàm cụ thể:
Số 2 là giá trị cực đại, còn −2 là giá trị cực tiểu.
Chú ý: ta tính giá trị của hàm số tại điểm cực trị, chứ không chỉ ghi lại hoành độ x = −1 hay x = 1.
Bước này soi hai đầu vô cực và chỗ hàm bị đứt. Lấy lại ví dụ có chỗ đứt:
Lại gần 2 từ hai phía thì đồ thị lao về hai hướng vô cực ngược nhau, nên x = 2 là tiệm cận đứng.
Thấy x = a là tiệm cận đứng rồi vội gọi đó là điểm cực trị. Sai — x = a không thuộc tập xác định thì không thể là cực trị.
Ráp mọi thứ vừa tìm được cho hàm f(x) = x³ − 3x vào một bảng:
| x | −∞ | −1 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + 0 | − 0 | + | |
| f(x) | ↗ | 2 | ↘ −2 | ↗ |
Đọc bảng: ↗ là hàm tăng, ↘ là hàm giảm, 2 là giá trị cực đại, −2 là giá trị cực tiểu.
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.