Bước 1/4: Bản chất
Phần 7 · Bản chất
Ba module trước đều nói về những phép làm đổi số cực trị. Module này nói về nhóm phép ngược lại — nhóm không đụng gì tới số lượng, dù trông có vẻ ghê gớm.
Hàm f có 3 điểm cực trị. Đề hỏi về hàm:
Dịch sang phải 5, nhân với −2, rồi cộng 7 — ba phép cùng lúc.
Theo em, g có bao nhiêu cực trị? Nhiều hơn 3, ít hơn 3, hay vẫn đúng 3?
Viết con số ra giấy. Và viết thêm lý do — phần lý do mới là thứ bài này muốn dạy.
Xuyên suốt bài, ta kiểm chứng bằng một hàm cụ thể:
Đừng nhớ đây là một quy tắc riêng. Nó là hệ quả của đúng công thức hàm hợp em đã học:
Nghiệm mới chỉ sinh ra từ u′ = 0 — cái mà module hàm hợp gọi là nguồn A.
Bây giờ nhìn xem "thừa số phụ" là gì trong từng trường hợp:
| Hàm | Đạo hàm | Thừa số phụ | Số cực trị |
|---|---|---|---|
| a·f(x) + b | a · f′(x) | hằng số a ≠ 0 | Bất biến |
| f(px + q) | p · f′(px + q) | hằng số p ≠ 0 | Bất biến |
| f(u(x)) | u′ · f′(u) | một hàm, có thể bằng 0 | Thay đổi |
| f(|x|) | — | đạo hàm trong không tồn tại tại 0 | Thay đổi |
Dịch, lật, co giãn chính là hàm hợp với lớp trong u(x) = px + q. Khi đó u′ = p là một hằng số khác 0 — nó không bao giờ bằng 0, nên nguồn A rỗng.
Không có nghiệm mới sinh ra, cũng không có nghiệm cũ bị triệt tiêu. Số cực trị y nguyên.
Đối chiếu lại ba module trước cho thấy một bức tranh thống nhất: thứ làm đổi số cực trị luôn là một chỗ gãy — u′ triệt tiêu (hàm hợp), hoặc đạo hàm không tồn tại (trị tuyệt đối). Phép affine không tạo ra chỗ gãy nào.
Mọi phép biến đổi trong bài gói gọn trong một dạng duy nhất. Dùng bốn chữ cái tách bạch để không bao giờ nhầm hệ số nào với hệ số nào:
| Câu hỏi | Phép TRONG (p, q) | Phép NGOÀI (a, b) |
|---|---|---|
| Số cực trị | Giữ nguyên | Giữ nguyên |
| Hoành độ | Thay đổi | Giữ nguyên |
| Giá trị | Giữ nguyên | Thay đổi |
| Loại (đại/tiểu) | Giữ nguyên | Đảo nếu a < 0 |
Ba câu hỏi tách rời nhau. Đề hỏi cái nào thì trả lời cái đó — đừng làm gộp.
Cực trị mới xuất hiện khi cái trong ngoặc nhận đúng giá trị cũ. Giải một phương trình bậc nhất là xong:
Giá trị y không hề bị đụng tới, nên giá trị cực trị giữ nguyên.
f(x − 2) dịch sang PHẢI 2 đơn vị, không phải trái. Đừng nhớ mẹo — giải phương trình: x − 2 = x₀ ⇒ x = x₀ + 2.
| Hàm mới | Cực trị chuyển tới | Ý nghĩa hình học |
|---|---|---|
| f(x − a) | x₀ + a | dịch phải a |
| f(x + a) | x₀ − a | dịch trái a |
| f(−x) | −x₀ | lật ngang qua Oy |
| f(px) | x₀ / p | co giãn ngang |
Co giãn ngang có một hệ quả riêng: mọi khoảng cách giữa các cực trị bị chia cho p.
Ví dụ f có cực trị tại x = 1, 2, 3. Hàm f(2x) có cực trị tại 0,5 · 1 · 1,5 — vẫn ba cái, nhưng khoảng cách từ 1 rút còn 0,5.
Với g(x) = f(px + q) thì g″ = p² · f″. Hệ số bị bình phương nên luôn dương — dấu của g″ luôn khớp dấu f″.
Nói bằng hình: lật ngang chỉ đổi chỗ trái ↔ phải. Đỉnh núi soi gương vẫn là đỉnh núi.
Với g(x) = a·f(x) + b, lấy đạo hàm thì hằng số b biến mất:
Vì a ≠ 0 nên g′ và f′ có cùng nghiệm — hoành độ cực trị không xê dịch.
Nhưng dấu thì tuỳ a: nếu a > 0, g′ cùng dấu f′ nên loại cực trị giữ nguyên; nếu a < 0 thì mọi dấu bị lật, cực đại và cực tiểu đảo cho nhau.
Cặp f(−x) và −f(x) trông đối xứng nhưng cho hai kết quả khác nhau. Đây là chỗ phản trực giác nhất của cả bài:
| Phép | Lật qua trục | Hoành độ | Loại cực trị |
|---|---|---|---|
| f(−x) | Oy — lật ngang | x₀ → −x₀ | Giữ nguyên |
| −f(x) | Ox — lật dọc | Giữ nguyên | Đảo |
Lật ngang đổi chỗ trái ↔ phải: đỉnh vẫn là đỉnh. Lật dọc đổi chỗ trên ↔ dưới: đỉnh lộn ngược thành hố.
Mục 2 nói "cộng hằng số thì cực trị y nguyên". Rất dễ nhớ thành "cộng thêm gì cũng thế" — và đó là chỗ đề gài bẫy.
Rút gọn: g = x³ − 3x + 3x = x³, nên g′ = 3x².
g′ có nghiệm kép tại x = 0 — không đổi dấu. Hàm g mất sạch cực trị: đáp án là 0, không phải 2.
| Cộng thêm | Đạo hàm | Số cực trị |
|---|---|---|
| + 100 (hằng số) | g′ = f′ | 2 — không đổi |
| + 3x (bậc nhất) | g′ = f′ + 3 | 0 — mất sạch |
Cộng hằng số thì nó biến mất khi lấy đạo hàm. Cộng một hàm của x thì không — đạo hàm đổi, đường chuẩn dời từ Ox lên y = −k, và số lần đổi dấu có thể đổi theo.
Gom lại, có đúng bốn thứ làm số cực trị thay đổi. Ngoài bốn thứ đó, cứ yên tâm trả lời "giữ nguyên":
| Phép | Số cực trị |
|---|---|
| a·f(px + q) + b | Giữ nguyên |
| f(x) + kx | Có thể đổi |
| f(u(x)) với u phi tuyến | Có thể đổi |
| |f(x)| và f(|x|) | Có thể đổi |
Đề rất hay cho sẵn bảng biến thiên của f rồi bắt lập bảng của g. Với phép NGOÀI, thao tác chỉ có ba dòng:
| Hàng trong bảng | Làm gì với g = a·f(x) + b, a < 0 |
|---|---|
| x | Chép nguyên — các mốc không đổi |
| g′ | Đổi dấu toàn bộ: + thành − và ngược lại |
| g | Mũi tên đảo chiều; mỗi giá trị y₀ thay bằng a·y₀ + b |
Làm thử với g(x) = −2 f(x) + 1:
| Mốc | Hàm f | Hàm g = −2f + 1 |
|---|---|---|
| x = −1 | cực đại, y = 2 | cực tiểu, y = −2(2) + 1 = −3 |
| x = 1 | cực tiểu, y = −2 | cực đại, y = −2(−2) + 1 = 5 |
Cột hoành độ chép nguyên; chỉ cột giá trị phải tính, và cột loại phải đảo.
Hàm f có 4 cực trị. Hàm g(x) = 5 f(3x − 7) − 2 có mấy cực trị?
Hàm f đạt cực tiểu tại điểm (3 ; −1). Hàm g(x) = −4 f(x) + 5 đạt cực trị gì, tại điểm nào?
Cho f(x) = x³ − 3x (có 2 cực trị). Hàm g(x) = f(x) + 3x có mấy cực trị?
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.