Chuyển động — quãng đường, vận tốc, gia tốc

Bản chất — Chuyển động: quãng đường, vận tốc, gia tốc

Đạo hàm hóa ra là thứ bạn đã biết

Ngồi trên ô tô, đồng hồ tốc độ chỉ 60 km/h — con số đó đo vị trí đang thay đổi nhanh thế nào. Đó chính là định nghĩa đạo hàm. Và nếu đạp ga, kim đồng hồ tốc độ nhích lên — vận tốc đang thay đổi, tốc độ thay đổi của vận tốc chính là gia tốc.

Ba tầng: $s \to v \to a$

Ở module "Dấu hiệu 2", $f''$ chỉ là một mẹo tính khô khan — bây giờ nó là gia tốc, thứ bạn cảm nhận được khi xe phanh gấp và người bị chúi về trước.

Dịch mọi thứ đã học sang ngôn ngữ chuyển động: $s'>0$ → vật đi tới; $s'<0$ → vật đi lùi; $s'$ đổi dấu → cực trị của $s$, nghĩa là vật đổi chiều chuyển động; $v'$ đổi dấu → vận tốc đạt lớn nhất/nhỏ nhất.

Vận tốc bằng 0 nghĩa là gì?

Học sinh thường dịch "$v=0$ → vật đứng yên" — chưa đủ. $v=0$ chỉ là một khoảnh khắc, không phải một trạng thái kéo dài.

Đây chính xác là bài học "$f'=0$ chưa đủ" ở module "Vì sao đạo hàm tìm được cực trị", chỉ đổi tên gọi. Ném một vật lên cao: tại đỉnh $v=0$ và đổi chiều rơi xuống → cực đại của độ cao. Nhưng nếu $v=3t^2$: $v=0$ tại $t=0$ mà vật vẫn đi tiếp — không đổi chiều.

Quãng đường ≠ độ dời

Đây là bẫy đặc trưng nhất của dạng chuyển động:

• Độ dời $=s(t_2)-s(t_1)$. Có thể âm. Chỉ quan tâm điểm đầu và điểm cuối.
• Quãng đường đi được $=$ tổng độ dài tất cả các chặng, tính cả lúc quay lại. Luôn dương.

Quy trình tính quãng đường: (1) tìm các thời điểm vật đổi chiều (chỗ $v$ đổi dấu) trong khoảng đang xét; (2) chia khoảng thời gian thành các chặng bởi các thời điểm đó; (3) tính $|\Delta s|$ trên từng chặng; (4) cộng lại. Nếu vật không đổi chiều lần nào, quãng đường $=|$độ dời$|$.

Liên hệ với module "Cực trị của |f(x)| và f(|x|)": tốc độ (speed) $=|v|$ — đồ thị tốc độ chính là đồ thị vận tốc lật phần dưới lên trên. Mỗi chỗ vật đổi chiều, đồ thị tốc độ có một đáy nhọn chạm 0.

Vận tốc lớn nhất khi nào?

Nhiều học sinh phản xạ "khi gia tốc lớn nhất" — sai. Ta đang tìm cực trị của hàm $v$: cực trị của $v$ sinh ra khi $v'$ đổi dấu. Mà $v'=a$. Vậy vận tốc đạt cực trị khi gia tốc bằng 0 và đổi dấu qua đó — không phải "gia tốc lớn nhất".

Nghe ngược đời? Khi còn đạp ga ($a>0$), xe vẫn đang nhanh dần — chưa phải nhanh nhất. Chỉ khi ngừng tăng tốc ($a=0$) và chuẩn bị phanh ($a$ chuyển sang âm) thì đó mới là lúc xe nhanh nhất.

Và vẫn phải xét đầu mút: nếu đề cho $t\in[0;4]$, vận tốc lớn nhất có thể rơi vào $t=0$ hoặc $t=4$ — đúng bài học của module "Cực trị trong bài toán thực tế".

Ghi nhớ

GHI NHỚ VSAT

• $v=s'$ · $a=v'=s''$
• Vật đổi chiều ⟺ $v$ đổi dấu (không phải chỉ $v=0$)
• Vận tốc cực trị ⟺ $a=0$ và đổi dấu — không phải "$a$ lớn nhất"
• Quãng đường ≠ độ dời khi vật có đổi chiều
• Tốc độ $=|v|$ — nhớ phép lật đồ thị ở module "Cực trị của $|f(x)|$ và $f(|x|)$"
• $v<0$ nghĩa là đi lùi, không phải "đi chậm"

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 — vật đổi chiều mấy lần. Vật có $s(t)=t^3-6t^2+9t$, $t\in[0;4]$. Vật đổi chiều mấy lần?

Cách suy nghĩ (5 bước):

1. Nhận diện dạng. Hỏi "đổi chiều" → tìm chỗ $v$ đổi dấu. Không phải chỉ tìm $v=0$.
2. Phân tích. $v=s'=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$.
3. Chọn công cụ. Xét dấu $v$ — bài toán quen thuộc về xét dấu tam thức.
4. Thực hiện. $v=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=3$. Cả hai đều bội 1 (lẻ) → đổi dấu. Dấu $v$: dương trên $(0;1)$, âm trên $(1;3)$, dương trên $(3;4)$.
5. Kiểm tra. Vật đi tới, quay lùi, rồi lại đi tới. Đáp án: đổi chiều 2 lần (tại $t=1$ và $t=3$).

Ví dụ 2 — quãng đường đi được. Cùng vật đó. Tính quãng đường đi được trong 4 giây đầu.

Cách suy nghĩ:

1. Cảnh giác. Vật có đổi chiều (Ví dụ 1) → không được lấy $|s(4)-s(0)|$.
2. Chia chặng tại các mốc đổi chiều: $[0;1]$, $[1;3]$, $[3;4]$.
3. Tính vị trí tại các mốc. $s(0)=0$; $s(1)=1-6+9=4$; $s(3)=27-54+27=0$; $s(4)=64-96+36=4$.
4. Cộng độ dài từng chặng. $|4-0|+|0-4|+|4-0|=4+4+4=\boldsymbol{12}$ mét.
5. Đối chiếu. Độ dời chỉ là $s(4)-s(0)=4$ m. Quãng đường gấp ba lần. Phương án nhiễu chờ sẵn: 4 (lấy độ dời).

Ví dụ 3 — vận tốc nhỏ nhất. Cùng vật đó. Vận tốc nhỏ nhất trong $[0;4]$ là bao nhiêu?

Cách suy nghĩ:

1. Nhận diện. Tìm GTNN của hàm $v$ trên đoạn — bài toán GTLN/GTNN, không phải bài toán cực trị đơn thuần.
2. Điểm nghi ngờ. $a=v'=6t-12=0 \Leftrightarrow t=2$. Nằm trong $[0;4]$ ✔.
3. Đầu mút. Phải tính cả $t=0$ và $t=4$. Không được quên.
4. So sánh cả ba. $v(0)=9$; $v(2)=12-24+9=-3$; $v(4)=48-48+9=9$. Vận tốc nhỏ nhất: $-3$ m/s, tại $t=2$ s.
5. Hiểu ý nghĩa. $v=-3$ nghĩa là vật đang lùi với tốc độ 3 m/s — đó là lúc nó lùi nhanh nhất.

Nếu đề hỏi TỐC ĐỘ lớn nhất — tốc độ $=|v|$. Ta so sánh $|9|,|-3|,|9|$ → tốc độ lớn nhất là 9 m/s, tại $t=0$ và $t=4$. Vận tốc nhỏ nhất tại $t=2$. Tốc độ lớn nhất tại đầu mút. Hai câu hỏi, hai đáp án hoàn toàn khác nhau.