Chủ đề: Đạo hàm & khảo sát hàm sốKiến thức: Cực trị hàm số ▾
Tiến độ module
0%
Mastery hiện tại
0%
Bước 1/4: Bản chất
Phần 1 · Bản chất
Cực trị là gì?
Trước khi viết một ký hiệu nào, ta đi leo núi đã.
1 Ba đỉnh núi
Hãy quan sát dãy núi dưới đây. Nó có ba đỉnh.
Ba đỉnh trên cùng một dãy. Cả ba đều là đỉnh.
Đỉnh nào cao nhất? Và vì sao cả ba đều được gọi là "đỉnh", nhưng chỉ một cái là cao nhất?
Đứng ở đỉnh A, nhìn sang trái sang phải, bạn thấy mình cao hơn cả. Đứng ở đỉnh B cũng vậy. Cái làm nên một đỉnh là so với hai bên nó, chứ không phải so với cả dãy núi.
Là đỉnh và là đỉnh cao nhất là hai khái niệm khác nhau.
2 Đứng đầu lớp và đứng đầu trường
Bảng điểm cuối kỳ
Trang đứng đầu lớp 12A1.
Ly đứng đầu lớp 12A2.
Nhưng chỉ mình Ly đứng đầu toàn trường.
Trang vẫn là học sinh giỏi nhất lớp mình. Không ai lấy chuyện "Trang thua Ly" ra để nói Trang không đứng đầu 12A1.
Đời thường
Toán học
Đứng đầu lớp
cực đại
Đứng đầu toàn trường
giá trị lớn nhất
Điểm cực đại không nhất thiết là điểm đạt giá trị lớn nhất của hàm số.
3 Bản chất, nói bằng lời
Bây giờ ta gói ba ý trên lại thành ba câu ngắn.
Cực đạicao hơn các điểm rất gần nó.
Cực tiểuthấp hơn các điểm rất gần nó.
Phạm vichỉ xét vùng lân cận, không xét toàn bộ đồ thị.
Ba chữ "rất gần" là toàn bộ linh hồn của khái niệm này. Bỏ nó đi thì cực trị biến thành giá trị lớn nhất ngay.
4 Định nghĩa toán học
Giờ mới đến lượt ký hiệu. Mỗi chữ dưới đây chỉ dán lên một ý bạn đã hiểu ở trên.
ĐIỂM CỰC ĐẠI
Hàm số f đạt cực đại tại x₀ nếu tồn tại một khoảng nhỏ quanh x₀ sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x trong khoảng đó, x ≠ x₀.
ĐIỂM CỰC TIỂU
Hàm số f đạt cực tiểu tại x₀ nếu tồn tại một khoảng nhỏ quanh x₀ sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x trong khoảng đó, x ≠ x₀.
Dịch sang tiếng Việt. Đứng tại x₀, nhìn quanh một đoạn rất ngắn thì đây là điểm cao nhất (hoặc thấp nhất) mà bạn thấy.
Cụm "một khoảng nhỏ quanh x₀" chính là câu "so với hai bên nó" ở phần núi.
5 Ba kiểu câu hỏi rất dễ nhầm
Cùng một điểm trên đồ thị, đề có ba cách hỏi và ba đáp án khác nhau. Hãy quan sát hình dưới đây.
Điểm cực tiểu nằm ở toạ độ (0 ; 3). Chú ý: vẫn có chỗ trên đồ thị thấp hơn 3.
Đề hỏi
Đáp án
Điểm cực tiểu
x = 0
Giá trị cực tiểu
y = 3
Toạ độ điểm cực tiểu
(0 ; 3)
Cảnh báo. Đề V-SAT thường cho cả ba số này vào cùng một danh sách đáp án để đánh lừa. Đọc kỹ đề hỏi điểm, giá trị, hay toạ độ.
Mẹo đọc đề: chữ "điểm" đi với trục hoành, chữ "giá trị" đi với trục tung, chữ "toạ độ" thì cần cả hai.
6 Quy tắc nhận diện bằng mắt
Bạn không cần tính gì cả. Chỉ cần nhìn hai bên của điểm đang xét.
↗ rồi ↘trái lên, phải xuống → cực đại
↘ rồi ↗trái xuống, phải lên → cực tiểu
↗ rồi ↗hai bên cùng chiều → không có cực trị
Ba tình huống, nhìn là ra. Hình thứ ba chỉ chững lại chứ không quay đầu.
Cực trị sinh ra từ việc đồ thị đổi chiều.
7 Ba bẫy thường gặp
Bẫy 1 — Hàm y = x³ tại x = 0. Tiếp tuyến ở đó nằm ngang nên trông rất giống đỉnh. Nhưng đồ thị đi lên rồi vẫn đi lên, không hề quay đầu. Đây là điểm dừng, không phải cực trị.
Bẫy 2 — Điểm cắt trục hoành. Chỗ đồ thị cắt trục Ox chỉ có nghĩa là y = 0. Nó nói về giá trị của hàm, không nói gì về chiều đi lên hay đi xuống.
Bẫy 3 — Đầu mút của đoạn. Điểm cao nhất ở mép trái hay mép phải của đoạn không được gọi là cực đại. Ở mép, bạn không có "hai bên" để so — chỉ có một bên.
8 Đỉnh nhọn vẫn là cực trị
Nhiều bạn nghĩ cực trị bắt buộc phải trơn tru, cong mềm. Hãy xem hàm y = |x|.
Bên trái giảm, bên phải tăng. Đồ thị đổi chiều tại gốc.
Bên trái gốc, đồ thị đi xuống. Bên phải gốc, đồ thị đi lên. Nó đổi chiều đúng tại x = 0, nên đây là điểm cực tiểu, dù đồ thị gấp khúc chứ không cong.
Chú ý. Tại đỉnh nhọn, đạo hàm không tồn tại — nên nếu chỉ đi giải y′ = 0, bạn sẽ bỏ sót điểm này. Định nghĩa cực trị dựa vào đổi chiều, không dựa vào đạo hàm.
Thử một câu: hàm y = |x| − 4 có cực tiểu tại đâu, và giá trị cực tiểu bằng bao nhiêu?
Điểm cực tiểu x = 0, giá trị cực tiểu y = −4, toạ độ (0 ; −4). Trừ đi 4 chỉ kéo cả đồ thị đi xuống, không làm đổi chỗ đỉnh nhọn.
GHI NHỚ
Cực đại và cực tiểu chỉ xét trong lân cận.
GTLN và GTNN xét trên toàn bộ miền.
Không phải mọi cực đại đều là giá trị lớn nhất.
Muốn có cực trị thì đồ thị phải đổi chiều.
Đỉnh nhọn vẫn có thể là cực trị.
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.