Bước 1/4: Bản chất
Phần 2 · Bản chất
Nhiều bạn học dấu hiệu 2 như một câu thần chú: f″ > 0 thì cực tiểu, f″ < 0 thì cực đại. Bài này giải thích vì sao, để em không bao giờ nhớ nhầm nữa.
Hãy tưởng tượng em lái xe trên một con đường. Nếu vô lăng cứ hướng dần lên, em cảm thấy mặt đường võng lên như lòng một cái chảo.
Ngược lại, nếu vô lăng hướng dần xuống, mặt đường úp xuống như một mái vòm.
Đường võng lên thì tạo đáy hay đỉnh? Còn đường úp xuống?
Đạo hàm cấp hai cho biết đồ thị đang cong lên hay cong xuống.
Nhắc lại chuyện cũ cho chắc. Đạo hàm cấp một nói về chiều đi:
f′(x) > 0 thì đồ thị đi lên. f′(x) < 0 thì đồ thị đi xuống.
Hãy hình dung f′ chính là độ dốc của con đường tại chỗ em đang đứng.
f′ đo chiều chuyển động của đồ thị.
f″ là đạo hàm của độ dốc, nên nó đo sự thay đổi của độ dốc.
| Dấu của f″ | Ý nghĩa | Hình dung |
|---|---|---|
| f″ > 0 | f′ đang tăng | 🥣 Cái bát |
| f″ < 0 | f′ đang giảm | ☂️ Cái ô |
Cái bát có đáy; cái ô có đỉnh. Câu này gói gọn toàn bộ dấu hiệu 2.
Tại x₀ tiếp tuyến nằm ngang, và độ dốc đang tăng dần.
Độ dốc tăng dần nghĩa là nó đi từ âm, qua 0, lên dương:
Đồ thị đổi từ giảm sang tăng nên x₀ là điểm cực tiểu — đúng như cái bát có đáy.
Tại x₀ tiếp tuyến nằm ngang, và độ dốc đang giảm dần.
Độ dốc giảm dần nghĩa là nó đi từ dương, qua 0, xuống âm:
Đồ thị đổi từ tăng sang giảm nên x₀ là điểm cực đại — đúng như cái ô có đỉnh.
Dấu hiệu 2 không phải một quy tắc mới. Nó chỉ là cách nhanh để đoán chiều đổi dấu của f′ mà không cần lập bảng xét dấu thủ công.
Quy tắc gốc của cực trị vẫn là: đạo hàm phải đổi dấu. Dấu hiệu 2 chỉ là lối tắt để biết nó đổi theo chiều nào.
Tại x = 0, đạo hàm bằng 0 và đạo hàm cấp hai dương.
f′(0) = 0 và f″(0) = 2 > 0, nên x = 0 là cực tiểu.
Điều gì xảy ra nếu f″(x₀) = 0?
Lúc này f′ không tăng cũng không giảm tại x₀, nên chưa biết nó có đổi dấu hay không.
Lối tắt gãy ở đúng chỗ này. Cái bát và cái ô đều phẳng ra, không còn hình dạng để đoán.
Hai hàm dưới đây có f′(0) = 0 và f″(0) = 0 giống hệt nhau, nhưng kết quả trái ngược:
| Hàm số | y = x³ | y = x⁴ |
|---|---|---|
| f′(0) | 0 | 0 |
| f″(0) | 0 | 0 |
| Kết quả | Không cực trị | Cực tiểu |
x³: đạo hàm đổi từ dương sang dương, không đổi dấu nên không có cực trị.
x⁴: đạo hàm đổi từ âm sang dương, có đổi dấu nên có cực tiểu.
1. Quay về xét dấu f′(x) trực tiếp.
2. Lập bảng biến thiên quanh x₀.
3. Kết luận cực trị từ sự đổi dấu của f′.
Không có đường tắt trong trường hợp f″(x₀) = 0.
f′(x₀) = 0 ?
│
├─ Không → không phải điểm cực trị
│
└─ Có
│
├─ f″(x₀) > 0 → cực tiểu
│
├─ f″(x₀) < 0 → cực đại
│
└─ f″(x₀) = 0 → xét dấu f′Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.