Bước 1/4: Bản chất
Phần 2 · Trước khi học quy tắc
Cô trò mình sẽ không học thuộc gì cả. Mình đi lại từ cái dốc xe máy trước nhà.
Nhà em muốn dắt xe máy vào nhà. Thợ phải xây một cái dốc từ sân lên nền. Câu hỏi đầu tiên của thợ luôn là: dốc này cao bao nhiêu, dài bao nhiêu?
Độ dốc chính là chiều cao tăng lên chia cho chiều ngang đi được. Em đã học điều này từ cấp 2 rồi.
Đi ngang 1 mét thì nền cao lên 2 mét, nên độ dốc bằng 2.
Số này càng lớn thì dốc càng đứng. Số nhỏ thì dốc thoai thoải, dắt xe nhẹ tay.
Em thấy chưa, độ dốc chỉ là một phép chia. Cả bài đạo hàm sắp tới cũng chỉ xoay quanh phép chia này thôi.
"Nếu con đường không thẳng mà uốn lượn như sườn đồi thì sao?"
Trên đường thẳng, đi đoạn nào độ dốc cũng như nhau. Nhưng trên đồ thị y = f(x), độ dốc thay đổi liên tục.
Chỗ này đang đứng, chỗ kia đã thoải. Vậy không thể lấy một con số dán cho cả đường cong. Ta phải đo độ dốc tại đúng chỗ đang đứng, tức tại x₀.
Mình chưa đo được độ dốc tại một điểm. Vậy thì đo tạm hai điểm cho dễ.
Đứng tại x₀, em bước thêm một đoạn rất nhỏ Δx. Nối hai điểm đó lại, ta được độ dốc trung bình của cả đoạn.
Đoạn nối hai điểm trên đồ thị gọi là cát tuyến. Nó cho con số gần đúng, chưa phải con số tại một điểm.
Tử số là chênh lệch độ cao Δy, mẫu số là bước đi ngang Δx — vẫn đúng công thức cũ.
Bây giờ em kéo Δx nhỏ dần về 0. Hai điểm tiến sát vào nhau, gần như chồng lên nhau.
Đoạn thẳng nối hai điểm (cát tuyến) từ từ xoay lại và biến thành tiếp tuyến. Độ dốc trung bình biến thành độ dốc tức thời.
Em thử kéo thanh trượt dưới hình. Đường xanh sẽ xoay dần cho tới khi trùng khít đường đỏ.
Giờ em hình dung mình đạp xe lên một quả đồi. Không cần công thức, chỉ cần cảm giác ở chân.
Đang leo thì độ dốc dương. Tới đỉnh thì mặt đường phẳng, độ dốc bằng 0. Đổ xuống thì độ dốc âm.
Chân em cảm nhận được ba trạng thái đó. Đạo hàm cũng chỉ đang ghi lại đúng ba trạng thái ấy bằng con số.
| Dấu của f′(x) | Ý nghĩa |
|---|---|
| f′(x) > 0 | Hàm tăng |
| f′(x) = 0 | Tiếp tuyến ngang |
| f′(x) < 0 | Hàm giảm |
Nhưng em nhớ kỹ chỗ này. Độ dốc bằng 0 chưa đủ để có cực trị. Có những chỗ đường phẳng một nhịp rồi vẫn đi lên tiếp.
Vậy khi giải bài, tìm được nghiệm của f′(x) = 0 mới chỉ là bước một. Bước hai là xét dấu f′ hai bên nghiệm đó.
1. f′(x) > 0 thì hàm tăng hay giảm?
2. f′(x) < 0 thì hàm tăng hay giảm?
3. f′ đổi từ + sang − thì được cực đại hay cực tiểu?
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.