Bước 1/4: Bản chất
Phần 15 · Bản chất
Bốn loại hàm nghe rất khác nhau, nhưng chỉ cần hai công cụ: một cho hữu tỉ, một dùng chung cho cả căn, mũ và logarit. Nắm hai công cụ này là xử được cả nhóm.
Xét y = P(x)Q(x). Đạo hàm thương:
Nhìn mẫu: Q² là một bình phương → luôn dương ở mọi nơi hàm xác định.
Dấu của y′ = dấu của tử số. Mẫu không đóng góp gì vào việc đổi dấu — chỉ cần xét dấu tử (một đa thức bình thường), bỏ qua mẫu hoàn toàn.
Module trước đã kết luận: phân thức bậc 1 / bậc 1 có 0 cực trị, vì tử của y′ là hằng số. Vậy nếu tử của y′ là một tam thức bậc hai, số cực trị có thể là bao nhiêu?
Module "Trùng phương và phân thức bậc nhất" cố ý dừng ở bậc 1/1 và hẹn phần này. Giờ mở rộng: khi tử của y′ là tam thức bậc hai, nó có thể đổi dấu hai lần → 2 cực trị.
| Dạng | Tử của y′ | Số cực trị |
|---|---|---|
| Bậc 1 / Bậc 1 | hằng số | 0 — luôn luôn |
| Bậc 2 / Bậc 1 | tam thức bậc hai | 0 hoặc 2 |
Bậc 2/1 không bao giờ có đúng 1 cực trị — cùng lý do với hàm bậc ba: tử là tam thức đối xứng, không thể "vào mà không ra". Số lần cắt xuyên trục chỉ có thể là 0 hoặc 2.
Ở ví dụ trên, cực đại (−3) nhỏ hơn cực tiểu (1). Đây là chuyện địa phương: hai điểm nằm ở hai nhánh khác nhau của đồ thị, không so sánh trực tiếp với nhau. Đúng như đã học ở module "Cực trị là gì".
Cột x = −1 (nghiệm của mẫu) phải có mặt trong bảng biến thiên để chia khoảng, nhưng nó không thuộc tập xác định nên không bao giờ là cực trị.
Ba loại này đều có dạng hàm ngoài ( hàm trong ):
Cả ba hàm ngoài — căn, e^t, ln t — đều đơn điệu tăng.
Hàm ngoài tăng → cực trị của hàm hợp nằm đúng tại hoành độ cực trị của g, giữ loại, giữ số lượng.
Hàm ngoài giảm (như log₀,₅) → hoành độ vẫn giữ, nhưng loại cực trị đảo.
Vì sao? Hàm tăng thì "lớn hơn vẫn là lớn hơn": nếu g(x₀) lớn nhất trong lân cận thì e^g(x₀) cũng lớn nhất — thứ tự được bảo toàn.
Đây đúng là nguyên lý từ module "Biến đổi đồ thị": với y = a·f(x) + b, hệ số a > 0 giữ loại, a < 0 đảo loại. Ở đây chỉ đổi hàm ngoài từ đường thẳng sang căn/mũ/log — cùng một câu chuyện đơn điệu.
Xét y = g(x). Quy trình ba bước:
Không cần tính đạo hàm hàm hợp — nhưng nếu tính, mẫu 2g > 0 nên vẫn ra đúng kết luận.
Tại chỗ g(x) = 0, hàm y = g có giá trị 0 và không có đạo hàm (mẫu 2g = 0). Nhưng điểm không khả vi vẫn có thể là cực trị — đúng bài học từ module Dấu hiệu 1.
Ví dụ y = x²−4: tại x = ±2 hàm bằng 0, là giá trị nhỏ nhất trên từng nhánh. Đừng chỉ giải g′ = 0 rồi dừng — phải xét cả biên tập xác định.
| Hàm | Tập xác định | Hàm ngoài | Loại cực trị |
|---|---|---|---|
| e^g(x) | như g | tăng | Giữ |
| a^g, a > 1 | như g | tăng | Giữ |
| a^g, 0<a<1 | như g | giảm | Đảo |
| ln g(x) | g > 0 | tăng | Giữ |
| log_a g, a > 1 | g > 0 | tăng | Giữ |
| log_a g, 0<a<1 | g > 0 | giảm | Đảo |
Đề rất hay cho log₀,₅ hoặc (½)^g(x) để bẫy chỗ này. Cơ số < 1 → hàm ngoài giảm → cực đại và cực tiểu đổi vai.
Logarit cần g(x) > 0, dấu lớn hơn nghiêm ngặt, không có dấu bằng. Cực trị của g rơi vào chỗ g ≤ 0 thì không tính, vì hàm log không tồn tại ở đó.
Ví dụ A — hữu tỉ bậc cao. Hàm y = x²−3xx−1 có mấy cực trị?
Tập xác định x ≠ 1. Chỉ xét dấu tử của y′:
Tử vô nghiệm, hệ số dương → tử luôn dương → y′ không đổi dấu → 0 cực trị.
Lần này đáp án là 0, nhưng vì tử vô nghiệm, không phải vì tử là hằng số. Đổi đề thành x²+x+1x+1 thì tử của y′ có nghiệm và đáp án là 2.
Ví dụ B — hàm căn. Tìm cực trị của y = −x²+4x.
Tại x = 0 và x = 4 hàm bằng 0 — đó là hai đầu mút, không phải cực trị. Đáp án: 1 cực trị, cực đại tại x = 2 giá trị 2.
Ví dụ C — bẫy cơ số nhỏ hơn 1. Hàm y = log₀,₅(x²−4x+7) đạt cực đại hay cực tiểu tại x = 2?
g nhỏ nhất, mà log cơ số nhỏ hơn 1 thì "đối số càng nhỏ, kết quả càng lớn" → y lớn nhất. Hợp lý. Phương án nhiễu "cực tiểu" chờ sẵn cho người quên xét cơ số.
Phân thức y = x²+1x−2 có thể có mấy cực trị?
Hàm y = x²−9 có cực trị tại đâu?
Hàm y = (½)^(−x²+2x) đạt cực đại hay cực tiểu tại x = 1?
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.