Bước 1/4: Bản chất
Phần 3 · Bản chất
Bài trước em đã đọc được cực trị của f từ đồ thị f′. Bài này đề vẫn cho đúng đồ thị đó, nhưng hỏi về một hàm khác — và mọi thứ đổi hết.
Đề cho đồ thị f′(x) quen thuộc: cắt trục hoành tại −1 và 2. Nếu hỏi cực trị của f, em trả lời trong ba giây: hai cực trị.
Nhưng đề hỏi:
Ở đây x đã bị thay bằng x² − 1, nên g là một hàm số hoàn toàn khác.
Đồ thị f′ vẫn cắt trục đúng hai lần. Theo em, hàm g(x) = f(x² − 1) có mấy cực trị? Nhiều hơn, ít hơn, hay vẫn hai?
Viết con số em đoán ra giấy, cuối bài quay lại đối chiếu.
Khi thay x bằng u(x), ta đã tạo ra một hàm số mới. Đồ thị f′ không phải đồ thị g′. Muốn tìm cực trị của g, phải tính đạo hàm của chính g.
Hàm hợp có hai lớp chồng lên nhau: u nhận x rồi tạo ra một đầu vào mới, f nhận đầu vào đó rồi tạo ra kết quả.
Muốn biết g thay đổi thế nào, phải theo dõi cả hai lớp.
Vì vậy đạo hàm của hàm hợp không phải một số hạng, mà là một tích:
Vì g′ là một tích, nó bằng 0 khi một trong hai thừa số bằng 0. Đó là lý do nghiệm xuất hiện từ hai chỗ khác nhau.
| Nguồn | Phương trình | Cách xử lý |
|---|---|---|
| A — lớp trong | u′(x) = 0 | Giải thẳng theo x |
| B — lớp ngoài | f′(u(x)) = 0 | Đọc nghiệm t của f′, rồi giải u(x) = t |
Nguồn A thường cho nghiệm mới, nhưng có thể trùng với nguồn B — mục 6 sẽ xử lý tình huống đó.
Với ví dụ của ta, nguồn A rất dễ:
Nghiệm này không liên quan gì tới đồ thị f′ — nó đến từ lớp trong.
Nguồn B phải đi qua hai chặng. Đồ thị cho biết:
Đây là giá trị của biến t, chưa phải nghiệm theo x.
Phải giải tiếp theo x thì mới ra ứng viên cực trị của g.
Cách làm bằng mắt: kẻ đường ngang y = t lên đồ thị của u, rồi đếm giao điểm.
| Đường ngang | Phương trình | Nghiệm theo x |
|---|---|---|
| t = −1 | x² − 1 = −1 | x = 0 — chỉ chạm (nghiệm kép) |
| t = 2 | x² − 1 = 2 | x = ±√3 — hai giao điểm xuyên qua |
Đừng nhân số nghiệm một cách máy móc. Vì u(x) = x² − 1 ≥ −1, nếu f′ còn nghiệm t = −3 thì đường y = −3 nằm dưới cả parabol: vô nghiệm, bỏ luôn.
Tìm ra nghiệm mới chỉ là nửa đường. Bài trước đã dạy: chỉ chỗ đạo hàm đổi dấu mới sinh cực trị. Với hàm hợp, dấu của g′ là tích của hai dấu.
Đúng như quy tắc nhân dấu quen thuộc: cùng dấu ra dương, khác dấu ra âm.
| dấu u′ | dấu f′(u) | dấu g′ | Hàm g |
|---|---|---|---|
| + | + | + | Tăng ↗ |
| + | − | − | Giảm ↘ |
| − | + | − | Giảm ↘ |
| − | − | + | Tăng ↗ |
Dấu của u′ thì nhìn thẳng ra. Nhưng làm sao biết dấu của f′(u(x))?
Hỏi hai câu, theo đúng thứ tự:
1. Trên khoảng đang xét, u(x) nhận giá trị nằm ở vùng nào của trục t?
2. Ở vùng đó, đồ thị f′ nằm trên hay dưới trục?
Em không đọc dấu f′ tại x, mà đọc dấu f′ tại giá trị mà u ném tới. Toàn bộ dạng toán hàm hợp xoay quanh bước này.
Gộp lại, các ứng viên là x = −√3, x = 0, x = √3. Ba mốc này chia trục thành bốn khoảng. Nhớ rằng f′ > 0 khi t < −1 hoặc t > 2, và f′ < 0 khi −1 < t < 2.
| Khoảng | u′ = 2x | u(x) rơi vào | f′(u) | g′ |
|---|---|---|---|---|
| x < −√3 | − | u > 2 | + | − |
| −√3 < x < 0 | − | −1 < u < 2 | − | + |
| 0 < x < √3 | + | −1 < u < 2 | − | − |
| x > √3 | + | u > 2 | + | + |
Cột cuối là tích của hai cột trước nó — không cần tính thêm gì.
Từ cột g′, dựng bảng biến thiên của g:
| Khoảng / điểm | Dấu g′ | Hàm g |
|---|---|---|
| (−∞ ; −√3) | − | Giảm ↘ |
| x = −√3 | 0 | Cực tiểu |
| (−√3 ; 0) | + | Tăng ↗ |
| x = 0 | 0 | Cực đại |
| (0 ; √3) | − | Giảm ↘ |
| x = √3 | 0 | Cực tiểu |
| (√3 ; +∞) | + | Tăng ↗ |
Đáp số: hàm g có 3 cực trị — hai cực tiểu tại x = ±√3 và một cực đại tại x = 0. Con số em đoán ở mục 1 có khớp không?
Để ý x = 0: nó xuất hiện ở cả hai nguồn. Lúc này không được đếm một lần rồi thôi — phải cộng bội.
| Nguồn | Đến từ đâu | Bội tại x = 0 |
|---|---|---|
| A | u′ = 2x, nghiệm đơn | 1 |
| B | t = −1 là nghiệm đơn của f′ (bội 1) × u(x) = −1 có nghiệm kép (bội 2) | 1 × 2 = 2 |
| Tổng | Cộng hai nguồn | 3 — số lẻ |
Trong nguồn B ta nhân bội, rồi mới cộng với nguồn A.
Bội 3 là số lẻ, nên g′ đổi dấu tại x = 0 — đúng như bảng ở mục 5 đã cho thấy.
"Bội lẻ / bội chẵn" chính là "xuyên qua / chỉ chạm" mà em đã học, chỉ nói bằng ngôn ngữ đại số.
| Tổng bội | Đồ thị g′ | Dấu | Cực trị |
|---|---|---|---|
| Lẻ | Xuyên qua trục | Đổi | Có |
| Chẵn | Chỉ chạm trục | Không đổi | Không |
Chỉ giải f′(u(x)) = 0 mà bỏ hẳn u′(x) = 0. Đây là lỗi mất điểm nhiều nhất của dạng này. Hãy tự hỏi: mình đã kiểm tra nguồn A chưa?
Thấy f′ có 2 nghiệm và u bậc hai là kết luận 4 nghiệm. Phải kẻ từng đường ngang và đếm giao điểm thật — có đường cắt 2 lần, có đường chỉ chạm, có đường hụt hoàn toàn.
Đếm số nghiệm của g′ = 0 rồi ghi luôn thành số cực trị. Nghiệm chỉ là ứng viên; bước xét đổi dấu mới ra đáp án.
Đề cho g(x) = f(x² − 4), và f′ có một nghiệm tại t = −9. Nghiệm này cho mấy giá trị x?
Trên một khoảng, u′(x) < 0 và f′(u(x)) < 0. Hàm g đang tăng hay giảm?
Tại x₀, tổng bội từ hai nguồn là 4. Có cực trị tại đó không?
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.