Học moduleThoát module
A02

Điều kiện hình học về các điểm cực trị

65 phút · 1 điểm kiến thức

Chủ đề: Đạo hàm & khảo sát hàm sốKiến thức: Cực trị hàm số ▾
Tiến độ module
0%
Mastery hiện tại
0%

Bước 1/4: Bản chất

Phần 11 · Bản chất

Điều kiện hình học về các điểm cực trị

Các module trước hỏi có mấy cực trị. Module này đi xa hơn: các điểm cực trị đó, khi nối lại, tạo thành một hình — và đề đặt điều kiện lên chính hình đó.

Chìa khóa không phải học thuộc công thức từng dạng hình, mà là một quy trình: tọa độ hóa các điểm cực trị theo tham số, rồi dịch điều kiện hình học thành phương trình đại số.

1 Từ "mấy điểm" sang "hình gì"

Ta dùng trùng phương làm ví dụ xuyên suốt, vì ba điểm cực trị của nó có tọa độ rất đẹp:

y = ax⁴ + bx² + c  (a ≠ 0)

y′ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b). Nghiệm x = 0 luôn có; hai nghiệm còn lại là x² = −b/2a.

⚠️ Điều kiện tồn tại — luôn chốt trước

Có ba cực trị khi và chỉ khi −b/2a > 0, tức a và b trái dấu (ab < 0). Không có điều kiện này thì hình còn chẳng tồn tại mà đã vội áp điều kiện lên nó.

DỰ ĐOÁN TRƯỚC KHI ĐỌC TIẾP

Ba điểm cực trị của trùng phương: một nằm trên trục Oy, hai điểm kia đối xứng qua Oy. Theo em, ba điểm đó luôn tạo thành tam giác loại gì — dù a, b, c là bao nhiêu?

2 Tọa độ hóa: ba điểm, luôn cân

Gọi x² = −b/2a = t > 0. Ba điểm cực trị là:

ĐiểmHoành độVị trí
Ax = 0đỉnh, nằm trên trục Oy
Bx = −√tbên trái
Cx = +√tbên phải

Vì B và C đối xứng qua Oy, chúng có cùng tung độ. Nên AB = AC luôn đúng.

ABCHchiều cao AHnửa đáy HBAB = AC → luôn cân tại A
Ba điểm cực trị luôn tạo tam giác cân tại A. Mọi điều kiện hình học chỉ là biến thể của tam giác cân này.
💡 Ý tưởng cốt lõi

Tam giác đã cân sẵn. Nên "tam giác vuông", "tam giác đều", "diện tích bằng S"… đều quy về một điều kiện đặt lên hai đại lượng: bề ngang BC = 2√t và chiều cao AH (khoảng cách từ A xuống BC).

3 Hai đại lượng chi phối mọi điều kiện

Đặt H là trung điểm BC (chân đường cao từ A). Hai đại lượng cần tính:

nửa đáy: HB = √t  ·  chiều cao: AH = |y_A − y_B|

Tính y_A − y_B bằng cách thay hoành độ vào hàm; kết quả gọn lại thành AH = |b²/4a| nhân hệ số — nhưng đừng học thuộc, hãy tính trực tiếp mỗi lần.

Giờ mọi điều kiện hình học chỉ là một phương trình giữa HB và AH:

Đề yêu cầuDịch thành
Vuông cân tại AAH = HB (đường cao = nửa đáy)
Tam giác đềuAH = √3 · HB
Diện tích = SHB · AH = S
Góc ở đỉnh = 120°HB = √3 · AH

Bốn dòng, cùng một cấu trúc: viết HB và AH theo tham số, cho bằng nhau theo tỉ lệ đề đòi, giải ra tham số.

4 Làm trọn một ví dụ: tam giác vuông cân

Tìm m để y = x⁴ − 2mx² + 1 có ba điểm cực trị tạo tam giác vuông cân.

  1. Tồn tại: ở đây a = 1 > 0 nên cần b = −2m < 0, tức m > 0.
  2. Tọa độ hóa: t = −b/2a = m. Nửa đáy HB = √m. Tính y_A = 1, y_B = 1 − m² nên AH = m².
  3. Dịch điều kiện: vuông cân tại A ⇔ AH = HB ⇔ m² = √m.
m² = √m  ⇒  m⁴ = m  ⇒  m(m³ − 1) = 0  ⇒  m = 1

Loại m = 0 vì vi phạm điều kiện tồn tại ở bước 1. Đáp án: m = 1.

⚠️ Bước 1 không phải thủ tục

Nghiệm m = 0 thoả phương trình đại số ở bước 3 nhưng làm hàm chỉ còn một cực trị — không có tam giác nào. Quên đối chiếu bước 1 là nhận nhầm nghiệm này.

5 Bậc ba: đường thẳng qua hai cực trị

Bậc ba chỉ có hai cực trị nên "hình" ở đây là đường thẳng nối chúng, hoặc quan hệ giữa hai điểm. Đề hay hỏi: hai cực trị đối xứng qua gốc, cách đều một trục, hay nằm trên một đường cho trước.

Mẹo tìm đường thẳng qua hai cực trị mà không cần tọa độ từng điểm: chia đa thức y cho y′.

y = y′ · Q(x) + (rx + s)

Tại hai điểm cực trị, y′ = 0, nên y = rx + s. Vậy phần dư rx + s chính là đường thẳng đi qua cả hai cực trị.

💡 Vì sao thao tác này đáng giá

Hai hoành độ cực trị thường là nghiệm lẻ (chứa căn). Thay trực tiếp vào y để lấy tung độ rất khổ. Phép chia cho đường thẳng ngay lập tức, đúng cho cả hai điểm cùng lúc.

Đây là công cụ thật, luôn đúng. Đừng học công thức rút gọn sẵn — nó chỉ đúng cho một họ hàm và sập khi đổi đề.

6 Quy trình chung cho mọi điều kiện hình học

  1. Điều kiện tồn tại — chốt trước: bậc ba cần Δ > 0, trùng phương cần ab < 0.
  2. Tọa độ hóa các điểm cực trị theo tham số (trùng phương: dùng đối xứng; bậc ba: chia đa thức).
  3. Dịch hình học sang đại số — cân/vuông/đều/diện tích đều thành một phương trình theo tham số.
  4. Giải và đối chiếu ngược mọi nghiệm với điều kiện tồn tại ở bước 1.
Không có "công thức tam giác đều" hay "công thức vuông cân" cần nhớ. Chỉ có một việc: viết tọa độ ra, rồi dịch câu hình học thành câu đại số.

7 Tự kiểm nhanh

Ba điểm cực trị của một hàm trùng phương luôn tạo thành tam giác loại gì?

Tam giác cân tại đỉnh nằm trên Oy. Vì hai điểm cực trị hai bên đối xứng qua Oy nên cách đều đỉnh. Đây là lý do mọi điều kiện khác (đều, vuông cân…) chỉ là biến thể thêm một ràng buộc.

Giải điều kiện hình học ra m = 0 và m = 2, nhưng đề là trùng phương y = x⁴ − 2mx² + 1. Nghiệm nào phải xem lại?

Loại m = 0. Với m = 0 thì b = 0, không thoả ab < 0 — hàm chỉ có 1 cực trị, không có tam giác. Chỉ m = 2 hợp lệ.

Muốn tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị của y = x³ − 3x + 1 mà không giải nghiệm, làm thế nào?

Chia y cho y′ = 3x² − 3. Phần dư là −2x + 1, chính là đường thẳng đi qua cả hai cực trị. Không cần biết hoành độ cực trị là ±1.

Phụ lục — bảng tra nhanh (trùng phương)

Chỉ dùng để tăng tốc khi đã hiểu quy trình. Mỗi dòng vẫn cần điều kiện tồn tại ab < 0 đi kèm. Với y = ax⁴ + bx² + c:

Ba cực trị tạo thànhĐiều kiện (kèm ab < 0)
Tam giác vuông cân (tại đỉnh)b³ + 8a = 0
Tam giác đềub³ + 24a = 0
Ba cạnh, diện tích = S32a³S² + b⁵ = 0
Ba đỉnh cùng thuộc một đường tròn bán kính Rdùng công thức R = (đáy·cạnh)/(4S)

Nếu quên bảng này trong phòng thi, quy trình ba bước ở mục 6 luôn dựng lại được từ đầu — chậm hơn vài chục giây nhưng không bao giờ sai.

GHI NHỚ

  • Luôn chốt điều kiện tồn tại trước: bậc ba Δ > 0, trùng phương ab < 0.
  • Ba cực trị của trùng phương luôn tạo tam giác cân tại đỉnh trên Oy.
  • Mọi điều kiện hình học quy về một phương trình giữa nửa đáy HB và chiều cao AH.
  • Đường thẳng qua hai cực trị của bậc ba = phần dư khi chia y cho y′.
  • Mọi nghiệm tham số tìm được phải đối chiếu ngược với điều kiện tồn tại.

Lộ trình học module

Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.

1 / 4