Bước 1/4: Bản chất
Phần 2 · Bản chất
Nhiều bạn nghĩ tiệm cận là "đường cấm", đồ thị không được phép chạm vào. Hiểu vậy là sai, và sai này khiến em mất điểm ở những câu rất dễ.
Có một con robot đứng cách bức tường 10 mét. Nó được lập trình đúng một luật: mỗi bước đi được một nửa khoảng cách còn lại.
Bước đầu 5 mét, bước sau 2,5 mét, rồi 1,25 mét. Cứ thế mãi.
Sau rất nhiều bước, robot có chạm được vào tường không? Khoảng cách có tiến về 0 không?
Hai câu đó không giống nhau. Viết ra trước đã.
10 →
Khoảng cách nhỏ dần rất nhanh, nhưng em để ý con số: nó luôn dương. Chia đôi một số dương thì không bao giờ ra 0.
Không bấm nút nữa. Chỉ nhìn dãy 10 → 5 → 2,5 → 1,25 → …: sau bước thứ 50, khoảng cách còn dương không?
Toán học có ký hiệu riêng cho việc "đi mãi về phía xa":
Đọc là: cho x ngày càng lớn, tức là ta đang đứng nhìn đồ thị ở rất xa bên phải.
Bây giờ thay robot bằng một hàm số:
Mẫu số càng lớn thì thương càng bé, đúng như khoảng cách của robot.
Khi x rất lớn, giá trị y rất nhỏ và tiến sát 0.
Trục ngang trong hình vừa rồi chính là một tiệm cận:
Nếu đi ra xa mãi mà giá trị hàm cứ bám lấy một con số b, thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang.
Nhìn đồ thị ở khoảng cách rất xa, nó gần như dính vào đường y = b. Tiệm cận ngang mô tả hành vi ở vô cực, không mô tả chuyện gì xảy ra tại một điểm cụ thể.
Một ví dụ hay gặp trong đề:
Khi x khổng lồ, số 1 và số 3 trở nên vô nghĩa, chỉ còn 2x chia x bằng 2.
Tiệm cận ngang: y = 2.
Lần này ta không đi ra xa, mà tiến lại gần một chỗ cấm:
Mẫu số bằng 0 tại x = 2, nên hàm không có giá trị ở đúng chỗ đó.
Đến gần 2 từ bên trái thì đồ thị lao xuống, đến gần từ bên phải thì nó vọt lên.
Khi x tiến sát 2, giá trị y tăng hoặc giảm không giới hạn. Đường x = 2 lúc này giống một bức tường vô hình mà đồ thị áp vào nhưng không cắt qua.
Chỉ cần một trong hai phía cho kết quả vô cực là đủ kết luận.
Có những đồ thị ra xa mà không bám đường nằm ngang nào. Chúng bám một đường nghiêng.
Tách ra rồi thì thấy rõ: x là phần chính, còn 1/x chỉ là phần sai lệch rất nhỏ.
Khi x lớn, phần sai lệch teo lại gần bằng 0. Đồ thị gần như trùng với y = x.
Hiệu giữa đồ thị và đường thẳng tiến về 0, nghĩa là hai đường dính vào nhau ở xa vô cùng.
Đây là dạng tổng quát: nếu hiệu đó tiến về 0 thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
| Loại tiệm cận | Công thức nhận biết |
|---|---|
| Đứng | lim x→a f(x) = ±∞ |
| Ngang | lim x→±∞ f(x) = b |
| Xiên | lim x→±∞ [ f(x) − (ax+b) ] = 0 |
Hãy đọc công thức như đọc hành động của đồ thị: tiến tới đâu, chứ không phải bằng bao nhiêu.
Ra xa hai đầu thì hàm này tiến về 0, nên y = 0 là tiệm cận ngang.
Nhưng thay x = 0 vào thì y = 0. Đồ thị đi qua đúng (0 ; 0), tức là nó cắt tiệm cận của chính mình.
Rút gọn xong thì hàm này thực chất là một đường thẳng, chỉ thiếu đúng một điểm.
Tại x = 1 đồ thị bị khoét một lỗ nhỏ. Giá trị y không tiến tới vô cực, nó tiến tới 2.
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.