Học moduleThoát module
A02

Cực trị trong bài toán thực tế

50 phút · 2 điểm kiến thức

Chủ đề: Đạo hàm & khảo sát hàm sốKiến thức: Cực trị hàm số ▾
Tiến độ module
0%
Mastery hiện tại
0%

Bước 1/4: Bản chất

Phần 17 · Bản chất

Cực trị trong bài toán thực tế

Phép tính đạo hàm chỉ mất 5 giây. Phần khó — và nơi mất điểm thật — là từ lời văn dựng ra hàm số, rồi nhớ khảo sát trên đúng miền, không phải trên toàn ℝ.

1 Năm dạng ứng dụng cực trị

Mọi bài tối ưu thực tế đều là một trong năm dạng dưới. Chúng khác nhau ở cách lập hàm mục tiêu, nhưng chung một quy trình và chung một cái bẫy.

DạngHàm mục tiêu cần tối ưu
1Hình học phẳngdiện tích / thể tích (rào vườn, gò hộp, máng nước)
2Hình không giandiện tích vật liệu, với thể tích cho trước (lon, bể, hộp)
3Kinh tếchi phí, lợi nhuận, doanh thu (hay rơi đầu mút)
4Khoảng cáchđộ dài d (dùng mẹo bình phương d²)
5Chuyển độngvận tốc / gia tốc / quãng đường, qua đạo hàm của s(t)
⊘ Không thuộc dạng cực trị

Bài lãi kép, tăng trưởng, suy giảm, dân số, phóng xạ nghe cũng là "thực tế" nhưng không phải bài cực trị. Chúng không có max/min, không lấy đạo hàm — chỉ lập công thức mũ A(1+r)ⁿ rồi giải phương trình mũ – logarit. Dạng đó thuộc module Mũ–Logarit. Thấy "sau bao lâu / mấy kỳ" là biết ngay không phải chỗ này.

2 Quy trình 5 bước

  1. Đặt ẩn — ghi ngay điều kiện. Cạnh, thời gian, số sản phẩm luôn phải dương. Không bao giờ bỏ điều kiện.
  2. Lập hàm mục tiêu — đại lượng đề bảo tối ưu (diện tích, chi phí, lợi nhuận…).
  3. Rút về một biến — dùng ràng buộc của đề (tổng hàng rào, thể tích cho trước…).
  4. Khảo sát trên đúng miền điều kiện — không phải trên toàn ℝ.
  5. Trả lời đúng câu đề hỏi — kèm đơn vị.
⚠️ Bước 5 không hề vặt vãnh

Đề hỏi "chiều rộng bằng bao nhiêu" → trả lời một con số kích thước. Đề hỏi "diện tích lớn nhất" → trả lời một con số diện tích khác hẳn. Nhầm là mất trọn điểm — đây đúng là chuyện điểm cực trị khác giá trị cực trị từ module "Cực trị là gì", chỉ khoác áo thực tế.

3 Ví dụ dẫn nhập: mảnh vườn ba cạnh

Bác nông dân có 40 mét hàng rào, muốn rào mảnh vườn hình chữ nhật tựa một cạnh vào tường có sẵn — chỉ rào ba cạnh. Rào sao cho diện tích lớn nhất?

TƯỜNG CÓ SẴN (không rào)xxydiện tích S = x·yhàng rào: 2x + y = 40 (ba cạnh cam)
Chỉ rào ba cạnh: hai bề rộng x và một bề dài. Cạnh tựa tường không tốn rào.
⚠️ Bẫy lập hàm — 3 cạnh, không phải 4

Ràng buộc hàng rào là 2x + y = 40 (chỉ ba cạnh), không phải 2x + 2y = 40. Dùng nhầm chu vi bốn cạnh là sai ngay từ ràng buộc, kéo lệch toàn bộ.

  1. Đặt ẩn: x = bề rộng (vuông góc tường), điều kiện 0 < x < 20.
  2. Hàm mục tiêu: diện tích S = x·y.
  3. Rút về một biến: từ 2x + y = 40 ⇒ y = 40 − 2x. Vậy S(x) = x(40 − 2x).
  4. Khảo sát trên (0; 20): S′ = 40 − 4x = 0 ⇔ x = 10, đổi dấu + sang − → cực đại.
  5. Trả lời: x = 10 m, khi đó y = 20 m, diện tích lớn nhất S = 200 m².

4 Bẫy lớn nhất: đầu mút

Đề hỏi "lớn nhất" — đó là GTLN, khái niệm toàn cục. Còn cực trị là khái niệm địa phương. Hai chuyện khác nhau. Và GTLN trên một đoạn có thể rơi vào đầu mút — nơi không có cực trị nào.

💡 Phản ví dụ — GTLN nằm ở đầu mút

Xưởng sản xuất x sản phẩm/ngày, 0 < x ≤ 8, lợi nhuận L(x) = 3x + 5. Có L′ = 3 > 0 luôn → hàm luôn tăng, không có cực trị nào. Nhưng vẫn có lợi nhuận lớn nhất: tại đầu mút x = 8, cho L = 29.

Không có cực trị KHÔNG có nghĩa là không có GTLN.

Đề cho đoạnkín [a ; b] ?CÓBẮT BUỘC xét cả đầu mútKHÔNGxét cực trị như bình thường

Quy tắc tìm GTLN/GTNN trên đoạn [a; b]:

  1. Tính f′, tìm các điểm nghi ngờ nằm trong (a; b).
  2. Tính f tại các điểm nghi ngờ đó.
  3. Tính f tại hai đầu mút a và b.
  4. So sánh tất cả, chọn số lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).

Bước 3 là bước bị bỏ quên nhiều nhất.

5 Bốn ví dụ theo bốn dạng

VÍ DỤ A · hình học phẳng — hộp không nắp

Cắt bìa vuông cạnh 12, tìm x để thể tích lớn nhất

Cắt bốn góc bốn hình vuông cạnh x, gấp lên thành hộp không nắp.

  1. Ẩn + điều kiện: x > 0 và đáy 12 − 2x > 0 ⇒ 0 < x < 6. Ghi ngay — bước này cứu ở cuối.
  2. Hàm mục tiêu: V(x) = x(12 − 2x)².
  3. Khảo sát trên (0; 6): V′ = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = 2.

Loại x = 6 vì ngoài miền (đáy bằng 0). Còn x = 2: cực đại. Đề hỏi x → x = 2 cm. Nếu hỏi thể tích → V(2) = 128 cm³, câu khác đáp án khác.

⚠️ Nhờ điều kiện Bước 1

Nghiệm x = 6 bị loại nhờ điều kiện đặt ở bước 1. Bỏ bước 1 thì có hai nghiệm và không biết chọn cái nào.

VÍ DỤ B · hình không gian — lon tối ưu vật liệu

Lon trụ thể tích 500 cm³, tìm bán kính để tốn ít vật liệu nhất

Lon hình trụ kín hai đáy, thể tích V = πr²h = 500. Tối thiểu diện tích toàn phần S = 2πr² + 2πrh.

  1. Ẩn + điều kiện: bán kính r > 0.
  2. Rút về một biến: từ h = 500πr² thay vào: S(r) = 2πr² + 1000r.
  3. Khảo sát: S′ = 4πr − 1000r² = 0 ⇔ r³ = 250π.

Ra r = 250/π dạng căn bậc ba ≈ 4,3 cm; đổi dấu − sang + → cực tiểu của S. Đây là dạng THPT rất hay ra.

💡 Nối module Hàm đặc biệt

Hàm S(r) = 2πr² + 1000r chính là dạng "bậc cao trên bậc một" — tử của S′ là đa thức bậc ba, đúng công cụ xét dấu tử đã học.

VÍ DỤ C · kinh tế — GTNN rơi vào đầu mút

Chi phí C(x) = x + 16/x với 1 ≤ x ≤ 3, tìm chi phí nhỏ nhất

  1. Đèn đỏ: đề cho đoạn kín [1; 3] → bắt buộc xét đầu mút.
  2. Điểm nghi ngờ: C′ = 1 − 16x² = 0 ⇔ x = 4 (loại x = −4).
  3. Nhưng x = 4 ngoài đoạn [1; 3] → loại. Trong đoạn không có điểm nghi ngờ nào.
  4. So hai đầu mút: C(1) = 17; C(3) = 3 + 163 ≈ 8,33.

Chi phí nhỏ nhất ≈ 8,33 triệu, tại x = 3. Hàm không có cực trị nào trong đoạn — nhưng vẫn có GTNN, ở đầu mút. Người chỉ săn cực trị sẽ ra x = 4 rồi bế tắc.

VÍ DỤ D · khoảng cách — mẹo bình phương

Tìm điểm M trên parabol y = x² gần nhất với A(3; 0)

Gọi M(x; x²), khoảng cách d = (x−3)² + x⁴. Đạo hàm biểu thức chứa căn rất dễ sai.

💡 Mẹo — tối ưu d² thay vì d

Hàm t đồng biến, nên d nhỏ nhất ⇔ d² nhỏ nhất, cùng một điểm M. Khảo sát d² — một đa thức sạch, không căn. Đây đúng nguyên lý "hàm ngoài đơn điệu thì bỏ đi, khảo sát hàm trong" của module Hàm đặc biệt.

Đặt g = d² = (x−3)² + x⁴. g′ = 2(2x³ + x − 3). Nhẩm x = 1 là nghiệm; chia ra 2x³ + x − 3 = (x−1)(2x² + 2x + 3), tam thức có Δ = −20 < 0 luôn dương. Vậy dấu g′ = dấu (x−1) → cực tiểu tại x = 1.

Đáp án: M(1; 1), khoảng cách nhỏ nhất d = 5.

⚠️ Nhớ khai căn ở bước cuối

Đề hỏi khoảng cách → trả lời 5, không phải g(1) = 5 (đó là d²). Mẹo bình phương nhanh nhưng dễ quên quay về đại lượng gốc.

6 Tự kiểm nhanh

Một hàm lợi nhuận L(x) = 2x + 10 trên (0; 5] không có cực trị. Vậy nó có GTLN không?

Có. Hàm luôn tăng (L′ = 2 > 0) nên lớn nhất tại đầu mút phải x = 5, cho L = 20. Không có cực trị không có nghĩa là không có GTLN.

Bài rào vườn ba cạnh dùng ràng buộc nào: 2x + y = 40 hay 2x + 2y = 40?

2x + y = 40. Chỉ rào ba cạnh (cạnh thứ tư là tường), nên tổng hàng rào là hai bề rộng cộng một bề dài. Dùng chu vi bốn cạnh là sai ngay từ ràng buộc.

Tối ưu khoảng cách ra g(x) = d² = 5 tại điểm cần tìm. Đề hỏi "khoảng cách nhỏ nhất". Trả lời 5 đúng không?

Sai. 5 là d². Khoảng cách là d = 5. Phải khai căn ở bước cuối — đây là bẫy riêng của mẹo bình phương.
Phần khó không phải đạo hàm, mà là dựng hàm và chọn đúng miền. Và câu hỏi phải hỏi mỗi lần: đề cho đoạn kín không? Nếu có — đầu mút luôn phải được đưa lên bàn cân.

GHI NHỚ

  • Năm dạng: hình phẳng, hình không gian, kinh tế, khoảng cách, chuyển động — chung một quy trình 5 bước.
  • Lãi kép / tăng trưởng không thuộc đây — đó là bài giải mũ–logarit.
  • Đặt ẩn luôn kèm điều kiện. Cạnh, thời gian, số lượng → phải dương.
  • Đề hỏi "lớn/nhỏ nhất" là GTLN/GTNN — phải xét cả đầu mút, không chỉ cực trị.
  • Không có cực trị vẫn có thể có GTLN (hàm đơn điệu trên đoạn).
  • Khoảng cách: tối ưu d² cho gọn, nhưng nhớ khai căn ở bước cuối.
  • Trả lời đúng thứ đề hỏi: kích thước hay giá trị? Kèm đơn vị.

Lộ trình học module

Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.

1 / 4