Bước 1/4: Bản chất
Phần 5 · Bản chất
Hai dấu trị tuyệt đối trông giống nhau nhưng làm hai việc khác hẳn: một cái lật đồ thị, một cái soi gương đồ thị.
Cách phân biệt gọn nhất: trị tuyệt đối bọc lấy cái nào thì cái đó không được âm. Bọc f thì giá trị không âm; bọc x thì biến số không âm.
| Hàm mới | Trị tuyệt đối bọc | Cái gì không được âm | Phép biến hình |
|---|---|---|---|
| y = |f(x)| | giá trị f | trục tung | LẬT phần dưới Ox lên trên |
| y = f(|x|) | biến x | trục hoành | SOI GƯƠNG nửa phải sang trái |
Cả bài dùng một hàm duy nhất để kiểm chứng:
Hàm này có 2 cực trị (tại x = ±1) và cắt trục hoành tại 3 điểm (x = 0, ±√3).
Hàm f gốc có 2 cực trị. Theo em, |f(x)| có mấy cực trị? Còn f(|x|) có mấy?
Viết hai con số ra giấy. Cuối bài quay lại đối chiếu — phần lớn học sinh đoán sai ít nhất một.
Đừng học thuộc hai công thức rời. Cả hai đều là một câu:
Cực trị mới = cực trị cũ còn giữ lại + điểm góc do phép biến hình sinh ra.
Phép biến hình nào cũng bẻ đồ thị tại một chỗ nào đó, và mỗi chỗ bẻ là một điểm nhọn — mà điểm nhọn thì luôn là cực trị. Chỉ khác nhau ở chỗ bẻ ở đâu:
| Hàm | Cực trị cũ giữ lại | Điểm góc mới sinh ở đâu |
|---|---|---|
| |f(x)| | tất cả (đỉnh có thể lật thành đáy) | mỗi chỗ f cắt qua Ox |
| f(|x|) | chỉ phần bên phải, rồi nhân đôi | đúng một chỗ: x = 0 |
Nhớ câu này thì hai công thức bên dưới tự suy ra được, không cần học vẹt.
Phần đồ thị nằm dưới trục hoành bị lật ngược lên trên như gập một tờ giấy theo trục Ox. Chỗ đồ thị cắt qua Ox, sau khi gập sẽ thành một góc nhọn hình chữ V — và chữ V có đáy.
a = số cực trị của f (vẫn còn nguyên; đáy có thể bị lật thành đỉnh).
b = số điểm mà đồ thị f cắt qua Ox, tức số nghiệm bội lẻ của f(x) = 0.
Kiểm chứng với f = x³ − 3x: a = 2, b = 3, vậy |f| có 5 cực trị.
Đếm trên hình: ba đáy chữ V mới tại x = 0, ±√3, cộng hai cực trị cũ tại x = ±1. Đúng 5.
Nếu đồ thị f chỉ tiếp xúc Ox (nghiệm bội chẵn) thì tại đó đồ thị đã nằm cùng một phía — phép lật không có gì để lật. Không sinh cực trị mới, không tính vào b.
Toàn bộ độ khó của b nằm ở cách đề dùng từ. Ba chữ dưới đây cho ba kết quả khác nhau:
| Đề nói | Nghĩa | Tính vào b? |
|---|---|---|
| cắt qua Ox | nghiệm bội lẻ, đổi dấu | Có |
| tiếp xúc Ox | nghiệm bội chẵn, không đổi dấu | Không |
| gặp / có điểm chung | chưa rõ — gộp cả hai loại | Phải tách ra đã |
Gặp chữ "gặp" thì đừng dùng luôn con số đó; tìm xem đề có nói điểm nào tiếp xúc không.
Đồ thị chạm Ox rồi bật lại nghĩa là f đổi chiều ngay tại đó. Nên điểm tiếp xúc đã được tính trong a rồi — tính thêm vào b nữa là đếm hai lần.
Phép này không đụng gì tới trục hoành. Nó xoá sạch nửa trái của đồ thị, rồi lấy nửa phải soi gương qua trục Oy để đắp vào chỗ trống.
m = số cực trị của f có hoành độ dương. Cực trị nằm bên trái bị xoá cùng nửa trái, không đếm.
Nhân đôi vì mỗi cực trị bên phải được soi gương thành một cực trị nữa bên trái. Cộng 1 vì hai nửa gặp nhau tại x = 0 tạo một điểm nhọn.
Kiểm chứng: f = x³ − 3x có cực trị tại −1 và 1; chỉ x = 1 dương nên m = 1 → 2(1) + 1 = 3 cực trị.
1. Số 1 chỉ cộng khi x = 0 thuộc tập xác định. Nếu f chỉ xác định trên [2 ; 5] thì f(|x|) xác định trên hai đoạn rời nhau, không có điểm nào ở giữa — đáp án là 2m.
2. m đếm cực trị, không đếm nghiệm của f′ = 0. Nghiệm bội chẵn của f′ không phải cực trị nên không được tính.
Đáp án của f(|x|) luôn là số lẻ (khi 0 thuộc tập xác định). Ra số chẵn là chắc chắn sai — thường do đếm nhầm cả cực trị âm.
Đề hiếm khi hỏi thẳng |f(x)|. Nó hỏi kiểu này:
Vẫn là công thức a + b, nhưng b phải đếm theo một đường chuẩn mới.
Đặt h(x) = f(x) + m. Cộng một hằng số chỉ tịnh tiến đồ thị lên xuống, không đổi số cực trị, nên a giữ nguyên. Còn b:
Thay vì đếm chỗ cắt Ox, ta đếm chỗ đồ thị f cắt qua đường ngang y = −m — đúng thao tác "dời đường chuẩn" đã học ở bài đồ thị đạo hàm.
| Đường y = −m | Giao điểm | b | a + b |
|---|---|---|---|
| nằm giữa −2 và 2 | cắt qua 3 lần | 3 | 5 |
| đúng bằng 2 | tiếp xúc 1 + cắt 1 | 1 | 3 |
| cao hơn 2 | cắt qua 1 lần | 1 | 3 |
Muốn có 5 cực trị thì cần −2 < −m < 2, tức −2 < m < 2. Số nguyên thoả mãn: −1, 0, 1 — 3 giá trị.
Hai giá trị m = ±2 bị loại vì đường ngang khi đó đi đúng qua đỉnh hoặc đáy: chỗ đó là tiếp xúc, không tính vào b.
Hàm f có 3 cực trị, đồ thị f cắt qua trục hoành tại 4 điểm. Hỏi |f(x)| có mấy cực trị?
Hàm f có 4 cực trị tại x = −3, −1, 2, 5. Hỏi f(|x|) có mấy cực trị?
Hàm f có 2 cực trị. Đồ thị f gặp trục hoành tại 2 điểm, trong đó 1 điểm chỉ tiếp xúc. Hỏi |f(x)| có mấy cực trị?
Lộ trình học module
Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.