A02

Trùng phương và phân thức

55 phút · 1 điểm kiến thức

Chủ đề: Đạo hàm & khảo sát hàm số

Tiến độ module

Mastery hiện tại

Bước 1/4: Bản chất

Phần 13 · Bản chất

Trùng phương và phân thức bậc nhất

Module bậc ba cho một kết luận gọn: hàm bậc ba chỉ có 0 hoặc 2 cực trị. Hai họ hàm ở đây có kết luận còn gọn hơn — nhiều câu khoanh được trong ba giây, chỉ cần nhận ra dạng.

1 Một cơ chế, hai số phận

Đừng nhớ hai họ hàm như hai luật rời. Cả hai đều quy về đúng một câu đã học: số cực trị = số lần tử của y′ đổi dấu.

Họ hàm	Tử của y′ là	Số cực trị
Trùng phương ax⁴ + bx² + c	đa thức bậc ba lẻ	1 hoặc 3 — luôn lẻ
Phân thức ax+bcx+d	một hằng số	0 — không ngoại lệ

Số phận mỗi họ chỉ là hệ quả của việc tử đạo hàm là loại gì: đa thức lẻ thì đổi dấu số lẻ lần, hằng số thì không bao giờ đổi.

DỰ ĐOÁN TRƯỚC KHI ĐỌC TIẾP

Hàm bậc ba có thể 0 hoặc 2 cực trị (số chẵn). Trùng phương thì chỉ 1 hoặc 3 (số lẻ). Theo em, vì sao một họ luôn chẵn còn họ kia luôn lẻ?

2 Trùng phương: vì sao luôn số lẻ

Hàm trùng phương chỉ chứa x⁴, x² và hằng số — không có mũ lẻ. Hệ quả: f(−x) = f(x), đồ thị đối xứng qua trục Oy.

Nếu có một cực trị tại x = 2, do đối xứng, bắt buộc có một cực trị nữa tại x = −2. Cực trị đi theo cặp đối xứng.

Nhưng điểm x = 0 nằm ngay trên trục đối xứng — nó không có "bạn cặp", đứng một mình.

Hai cực trị hai bên là một cặp đối xứng; điểm giữa tại x = 0 đứng riêng. Cặp + lẻ = số lẻ.

Số cực trị = (số cặp đối xứng) + (điểm x = 0) = chẵn + 1 = lẻ

💡 Kết luận

Với hàm trùng phương, số cực trị chỉ có thể là 1 hoặc 3. Không bao giờ 2, không bao giờ 4. Đề nào cho phương án chẵn → loại ngay.

3 Điều kiện ab < 0 đến từ đâu

Cho y = ax⁴ + bx² + c với a ≠ 0:

y′ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)

Đặt y′ = 0: hoặc 2x = 0 (luôn có nghiệm x = 0), hoặc 2ax² + b = 0, tức x² = −b/2a. Vế này có nghiệm khi và chỉ khi:

−b2a > 0 ⟺ ba < 0 ⟺ ab < 0

Điều kiện	Nghiệm của y′ = 0	Số cực trị
ab < 0	x = 0 và một cặp ±x₀	3
ab ≥ 0	chỉ có x = 0	1

⚠️ Chú ý dấu bằng trong ab ≥ 0

Trường hợp b = 0 cũng thuộc nhóm này: hàm y = ax⁴ + c vẫn có đúng 1 cực trị tại x = 0. Học sinh hay quên trường hợp này khi viết điều kiện.

Cách nhớ ngắn nhất: a và b trái dấu → 3 cực trị. Cùng dấu (hoặc b = 0) → 1 cực trị.

4 Phân thức bậc nhất: không bao giờ có cực trị

Ở đây ta xét phân thức bậc nhất trên bậc nhất:

y = ax + bcx + d (c ≠ 0)

Đạo hàm của nó có tử là một hằng số:

y′ = ad − bc(cx + d)²

Hằng số không bao giờ đổi dấu, nên y′ giữ nguyên một dấu trên toàn miền xác định — không bao giờ bằng 0, không bao giờ đổi chiều.

Đồ thị là hyperbol: mỗi nhánh đơn điệu từ đầu đến cuối, không có đỉnh hay đáy.

💡 Kết luận

Phân thức bậc nhất trên bậc nhất có 0 cực trị, luôn luôn, không có ngoại lệ. Hàm chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên từng nhánh, tùy dấu của ad − bc.

⚠️ Điều kiện ad − bc ≠ 0

Nếu ad − bc = 0 thì tử đạo hàm bằng 0 khắp nơi — hàm suy biến thành một hằng số (đồ thị là đường thẳng ngang), không còn là phân thức thật. Mọi kết luận trên ngầm giả định ad − bc ≠ 0.

⚠️ Phạm vi của kết luận này

"0 cực trị" chỉ đúng cho phân thức bậc nhất / bậc nhất. Đừng áp cho phân thức bậc cao hơn: loại (ax² + bx + c)/(dx + e) có tử đạo hàm là tam thức bậc hai, và có thể có 2 cực trị — đó là một dạng khác, học riêng.

5 Ba dòng, một cơ chế

Gom cả hai họ (kèm bậc ba đã học) vào một bảng, để thấy chúng chạy trên cùng một nguyên tắc:

Họ hàm	Tử của y′	Số nghiệm đổi dấu
Bậc ba	tam thức bậc hai	0 hoặc 2
Trùng phương	bậc ba lẻ: 2x(2ax²+b)	1 hoặc 3
Phân thức bậc 1/1	hằng số ad − bc	0

Số cực trị của mỗi họ không phải một luật phải học thuộc — nó là hệ quả của việc tử đạo hàm là đa thức bậc mấy.

Nhận ra dạng hàm là nửa lời giải. Trùng phương chỉ có 1 hoặc 3; phân thức bậc nhất luôn 0. Thấy phương án lệch khỏi những con số này thì gạch ngay.

6 Tự kiểm nhanh

Một đề trắc nghiệm hỏi số cực trị của hàm trùng phương, bốn phương án: 0 · 2 · 3 · 4. Chưa tính gì, còn lại mấy phương án hợp lý?

Chỉ còn 1 — là phương án 3. Trùng phương chỉ có 1 hoặc 3 cực trị. Trong bốn phương án chỉ có 3 là số lẻ hợp lệ; 0, 2, 4 đều chẵn nên loại hết. Khoanh 3 không cần tính.

Tìm điều kiện của m để y = x⁴ + mx² + 1 có 3 cực trị.

Cần ab < 0 với a = 1, b = m: tức m < 0. Chú ý dấu ngặt — m = 0 cho hàm y = x⁴ + 1 chỉ có 1 cực trị.

Hàm y = (2x − 1)/(x + 3) có mấy cực trị?

0. Phân thức bậc nhất trên bậc nhất, tử đạo hàm là hằng số ad − bc = 2·3 − (−1)·1 = 7 ≠ 0. Hàm đơn điệu trên mỗi nhánh, không cực trị nào.

GHI NHỚ

Trùng phương đối xứng qua Oy: cực trị đi theo cặp, cộng điểm x = 0 lẻ → tổng luôn lẻ (1 hoặc 3).
3 cực trị ⇔ ab < 0 (a, b trái dấu). Cùng dấu hoặc b = 0 → 1 cực trị.
Phân thức bậc nhất / bậc nhất: tử y′ là hằng số → 0 cực trị, luôn luôn.
Điều kiện phân thức thật: ad − bc ≠ 0, nếu không đồ thị là đường thẳng ngang.
"0 cực trị" chỉ cho phân thức bậc 1/1 — phân thức bậc cao hơn là dạng khác.

Lộ trình học module

Hoàn thành tuần tự các bước để đạt hiệu quả tối đa.

1 / 4